Transformateur de puissance

Vue du transformateur

Cet exemple montre :

  1. les équations permettant de calculer le coût total du dispositif
  2. l’optimisation (minimisation du coût total)
  3. le post-processing du résultat d’optimisation

Modélisation

L’objectif est de mettre en place un modèle électromagnétique pour dimensionner un transformateur en fonction de ses grandeurs caractéristiques (puissance, tensions, densité de courant, etc) ainsi que de définir un modèle économique permettant de prendre en compte le coût à l’achat (essentiellement matières premières) et le coût à l’utilisation (essentiellement les pertes).

Géometrie du dispositif


Les paramètres d’entrée

bt Induction dans le matériau ferromagnétique
f La fréquence de la tension d’alimentation
h La hauteur d’une colonne
J La densité du courant dans les conducteurs
N1 Le nombre de spires du circuit primaire
St Puissance apparente totale
U1 Tension composée d’alimentation du circuit primaire

Les équations

/* 
   Transformateur
   
   Fichier transformateur.sml

   Modele de dimensionnement d'un transformateur triphase 3 colonnes

   Equations issues de:
   M. poloujadoff, R.D. Findlay, 
   " A PROCEDURE FOR ILLUSTRATING THE EFFECT OF VARIATION OF PARAMETERS 
     ON OPTIMAL TRANSFORMER DESIGN", IEEE Transactions on Power Systems,
   Vol. PWRS-1, No 4, November 1986 
*/

/* 
Definition de la loi donnant les pertes en watt/kg en fonction de l'induction pour les pertes fer 
*/
function pfkg(bt) = 1.996 - 8.125*bt + 12.277*bt*bt - 7.502*bt*bt*bt + 1.702*pow(bt,4);

/* Definition des constantes physiques */
muzero = 1.257e-006;

/* Definition de toutes les constantes du probleme */
D1 = 0.05;
D2 = 0.05;
D3 = 0.05;
D4 = 0.05;
D5 = 0.05;
DC = 8900;
DI = 7800;
FI = 0.8;
F1 = 0.7;
F2 = 0.7;
PC = 25;
PI = 12;
resistivite_cuivre = 2.6e-008;

/* 
Valeur actualise du cout de 1 watt de pertes cuivre en charge pendant 30 ans avec i=9% et 8760/5 heures et un prix de l'energie de 0.2778E-3 F/(watt*h). Donc pspc=0.2778E-3*somme(i=1 a 30,1/(1+0.09)^i)*3600*8760/5 car il y a 8760 heures dans l'annee et l'on considere les pertes joules moyennes consommees    sur une annee correspondent a un fonctionnement au regime nominal pendant le 1/5 eme de l'annee
*/
pspc = 5;
  
/* 
Valeur actualise du cout de 1 watt de pertes fer pendant 30 ans avec i=9% et 8760 heures et un prix de l'energie de 0.2778E-3 F/(watt*h). Donc pspc=0.2778E-3*somme(i=1 a 30,1/(1+0.09)^i)*3600*8760, car il y a 8760 heures dans l'annee
*/
pspf = 25;

/* Calcul de la puissance par colonne */
S = St/3.0;

/* Calcul de la tension simple par colonne a partir de la tension composee*/
V1 = U1/sqrt(3.0);

/* Calcul de la largeur des bobines primaires et secondaires */
A = (N1*S)/(V1*h*F1*J);
g = (N1*S)/(V1*h*F2*J);

/* Calcul du diametre moyen des bobines */
DM = ld + 2.0*D1 + 2.0*A + D2;

/* Largeur d'une colonne du transformateur */
ld = sqrt((2.0*sqrt(2.0)*V1)/(pow(pi, 2)*f*bt*N1*FI));

/* surface d'une colonne du diametre*/
AL = (pi/4.0)*pow(ld,2);

/* Calcul de l'inductance de fuite */
FF = (D2 + ((A + g)/3.0))/h;
X2 = muzero*pi*DM*pow(N1,2)*(2.0*pi*f)*FF;

/* Calcul de l'inductance de fuite P.U.*/
X2pu = X2/(pow(V1,2)/S);

/* Calcul du volume de fer */
Vol_fer0 = AL*FI*(8.0*(D1 + A + D2 + g + D5) + 6.0*ld + 3.0*(h + D4 + D3));

/* Calcul de la masse de fer */
Masse_fer0 = DI*Vol_fer0;

/* Calcul du cout du fer */
Prix_fer0 = PI*Masse_fer0;

/* Calcul du volume du cuivre */
Vol_cuivre0 = 3.0*pi*DM*h*(A*F1 + g*F2);

/* Calcul du cout du cuivre */
Prix_cuivre0 = PC*DC*Vol_cuivre0;

/* Calcul des pertes fer au Kilo: interpolation par les moindres carres */
Pertes_fer_Kg = pfkg(bt);

/* Calcul des pertes fer totales*/
Pertes_fer0 = Pertes_fer_Kg*Masse_fer0;

/* Calcul des pertes fers capitalisees */
Valeur_presente_pertes_fer = pspf*Pertes_fer0;

/* Calcul des pertes cuivres totales */
Pertes_cuivre0 = resistivite_cuivre*Vol_cuivre0*pow(J,2);

/* Calcul des pertes cuivres capitalisees*/
Valeur_presente_pertes_cuivre = pspc*Pertes_cuivre0;

/* Calcul de la longueur totale du transformateur */
ltt = 4*D5 + 3*(ld + 2*D1 + 2*g + 2*D2 + 2*A);

/* Calcul du prix total du transformateur*/
Prix_total_transfo = Prix_fer0 + Prix_cuivre0 + Valeur_presente_pertes_fer + Valeur_presente_pertes_cuivre;

L’optimisation

Le scénario d’optimisation est le suivant:
  • Trouver la valeur optimale de :
    • L’induction dans le matériau ferromagnétique (bt)
    • La hauteur de la colonne (h)
    • La densité du courant dans les conducteurs (J)
    • Nombre de spires dans le circuit primaire (N1)
  • Tel que :
    • Le prix total du dispositif soit minimal (Prix_total_transfo)
    • La réactance de fuite X2 soit comprise entre 5.76 et 8.64 avec une précision numérique relative de 1e-5
  • Pour une valeur imposée de :
    • La fréquence de la tension f = 50
    • La puissance totale du dispositif St = 4*1e7
    • La tension au primaire U1 = 60000

Le cahier des charges

/*Les intervales de libertés d’optimisation*/
bt - Interval = [0.5..1.9]   - valuer initiale = 1.7
f  - Fixe                    - valuer initiale = 50.0
h  - Interval = [1.0..1.4]   - valuer initiale = 4.432
J  - Interval = [50e4..45e5] - valuer initiale = 45e5
N1 - Interval = [100..1000]  - valuer initiale = 800
St - Fixe                    - valuer initiale = 4e7
U1 - Fixe                    - valuer initiale = 60000

/*Les contraintes sur les sortie*/
Prix_total_transfo - Minimize                - valuer = 1e6 - weight = 1.0
X2                 - Interval = [5.76..8.64]

/*L'optimiseur*/
Optimizer = SQP
Optimizer.Precision = 1.0E-5
Optimizer.Max Iteration = 100

Le résultat d’optimisation

/*Les valeurs d'entrée trouvées*/
bt - valeur initiale = 1.7   - valeur trouvée = 1.57
h  - valeur initiale = 4.432 - valeur trouvée = 1.4 (limite max)
J  - valeur initiale = 45e5  - valeur trouvée = 18.5e6
N1 - valeur initiale = 800   - valeur trouvée = 321.55

/*Les valeurs de sorties trouvées*/
Prix_total_transfo - valeur = 1.68e6 (Minimisée) 
X2                 - valeur = 8.64 (limite max)

Le post-processing

Le post-processeur de Cades peut servir pour montrer l’évolution de la fonction objectif à travers d’itérations d’optimisation :
Evolution du prix total du transformateur

Il est aussi possible de créer et de visualiser la géométrie du dispositif à travers d’itérations :
Post-processing de la géométrie du transformateur